In diesem Kurs zeige ich dir, wie man mit dem Schaubild der Funktion f (Ausgangsfunktion) und deren Eigenschaften, die 1.Ableitung f ‘ skizzieren kann. Man nennt diesen Vorgang das Graphischen Differenzieren.
Bitte beachte, der y’-Wert der 1.Ableitung f ‘ ist die Richtung m von f in einem bestimmten Punkt P bzw. an einer bestimmten Stelle x von f.
Die Eigenschaften im Schaubild der Ausgangsfunktion f:
1.0. Extrempunkte
Der Hoch- und der Tiefpunkt werden bei der Funktion f mit Extrempunkte bezeichnet.
1.1. Der Hochpunkt liegt auf einer Rechtskrümmung. Links vom Hochpunkt ist die Funktion f steigend und rechts vom Hochpunkt ist die Funktion f fallend. Im Hochpunkt gibt es keine Richtung m.
1.2. Der Tiefpunkt liegt auf einer Linkskrümmung. Links vom Tiefpunkt ist die Funktion f fallend und rechts vom Tiefpunkt ist die Funktion f steigend. Im Tiefpunkt gibt es keine Richtung m.
2.0. Wendepunkte
Im Wendepunkt steigend oder fallend ändert sich das Krümmungsverhalten. Eine Krümmung liegt nicht vor.
2.1. Im Wendepunkt steigend liegt die größte Steigung der Funktion f. Die Krümmung wechselt von der Rechts- in die Linkskrümmung.
2.2. Im Wendepunkt fallend liegt das größte Gefälle der Funktion f. Die Krümmung wechselt von der Links- in die Rechtskrümmung.
3.0. Sattelpunkte
Im Sattelpunkt steigend oder fallend ändert sich das Krümmungsverhalten. Eine Krümmung liegt nicht vor. Im Sattelpunkt gibt es keine Richtung.
3.1. Im Sattelpunkt steigend wechselt die Krümmung von der Rechts – in die Linkskrümmung.
3.2. Im Sattelpunkt fallend wechselt die Krümmung von der Links- in die Rechtskrümmung.
4. Monotonie
Die Monotonie ist bei den Extrempunkten von Bedeutung. In welchem Bereich ist die Funktion steigend bzw. fallend.
Das Ziel ist es die 1. Ableitung aus dem Schaubild der Funktion f zu skizzieren. Die 1. Ableitung und zwei weitere Ableitungen sind die Hilfsfunktionen, um die Eigenschaften von der Funktion beschreiben bzw. belegen oder oder spezielle Punkte berechnen zu können. In diesem Kurs wird vorwiegend die 1. Ableitung betrachtet. Das Ziel ist es mit der Ausgangsfunktion f die 1. Ableitung im Schaubild zu skizzieren. Die Eigenschaften der 1. Ableitung bildet im Zusammenhang mit der Funktion f die Grundlage für den Rechenweg, um die Eigenschaften von f belegen oder um die speziellen Punkte (s.o.) berechnen zu können.
Hast du diesen Lernschritt in den zusammenhängenden Eigenschaften gut gelernt, dann solltest du aus einem gegebenen Schaubild der Ausgangsfunktion f (auch ohne Skalierung), die 1.Ableitung f ‘ skizzieren können. Du findest in den Lernschritten 11.0 und 11.1. zwei Beispielaufgaben im Zusammenhang, wie man aus dem Schaubild von f das Schaubild von f ‘ skizziert und zudem gebe ich dir in 12. eine tabellarische Merkhilfe in die Hand.
Bitte lerne die zusammenhängenden Eigenschaften zwischen f und f ‘ mit einer “bildlichen Vorstellung auswendig”. Du solltest nicht nur die 1.Ableitung f ‘ skizzieren, sondern du musst auch theoretische Fragen beantworten können.
Die 1. Ableitung und zwei weitere Ableitungen f ” und f ”’ sind die Hilfsfunktionen, um alle Eigenschaften von der Funktion f beschreiben bzw. belegen oder um spezielle Punkte berechnen zu können.
