In diesem Kurs zeige ich dir die Herleitung und die Bedeutung der 1.Ableitung in der Differentialrechnung.
Ein Ziel in der Differentialrechnung ist, die Richtung m = f ‘(x) in einem Punkt P oder an einer Stelle x einer Funktion f zu bestimmen.
Bei der graphischen Herleitung startet man mit einer Sekante s, die die Funktion f in zwei Punkten schneidet. Ein Punkt ist P(x/f(x)) und der andere Punkt ist Po(xo/ f(xo). Mit dem x-Wert x rückt man immer näher zum x-Wert xo. Die Zwei-Punkte-Form nennt man in der Differentialrechnung den Differenzenquotient, mittlere oder durchschnittliche Änderungsrate. Mit diesem Differenzenquotient kann die Richtung ms berechnet werden. Man erhält unterschiedliche Richtungen ms, je nach dem wie nah der x-Wert x bei dem x-Wert xo liegt. Die Richtung ms kann steigend oder fallend sein. In einer Grenzbetrachtung verschmilzt der x-Wert x mit dem x-Wert xo. Im Ergebnis erhält man die Richtung mt der Tangente, die die Funktion f nur noch berührt.
Im gemeinsamen Zielpunkt P(xo/f(x0)) ist die Richtung mt der Tangente gleich der Richtung m von f. Es gilt: mt = m
Mit dieser zeichnerische Überlegung bekommt man eine Vorstellung, dass es in einem Punkt P einer Funktion f eine Richtung m gibt. Diese Richtung m ist gleich der Richtung mt der Tangente t im gemeinsamen Punkt.
In der algebraische Herleitung behält man diese graphische Vorstellung und erhält über einen allgemeinen, mathematischen Weg, die Richtung m von f an der Stelle x oder im Zielpunkt. Das Ergebnis aus dem Differentialquotient ist der Funktionsterm der 1.Ableitung f ‘
an der Stelle xo des Zielpunktes. Die Stelle xo schreibt man anschließend im Funktionsterm mit x, so dass die Funktion f ‘ für alle x gilt.
Wird nun eine beliebige Stelle x = a in f ‘ eingesetzt (f ‘(a) ), dann ist der errechnete y’-Wert bzw. der Funktionswert der 1.Ableitung f ‘ die gesuchte Richtung m an der Stelle x oder im Punkt P von f.
Der Vorteil der algebraischen Herleitung ist der Funktionsterm der 1.Ableitung f ‘ . Mit dieser 1. Ableitung kann für jede Stelle x oder in jedem Punkt von f die Richtung m berechnet werden.
Der Nachteil ist ein aufwendiges Verfahren den Differentialquotienten algebraisch umzuformen, um die 1.Ableitung f ‘ zu bekommen.
In der Mathematik vereinfachen die Ableitungsregeln den Weg aus der Funktion f die 1.Ableitung zu bestimmen. Dieses Thema wird in der Differentialrechnung im Kurs 2 behandelt.
Mit der 1.Ableitung f ‘ kann nun an einer bestimmten Stelle x oder in einem bestimmten Punkt P von f, die Richtung m = f'(x) berechnet werden.
Mit der Richtung m von f an einer Stelle x oder im Punkt P kann die Tangente t bestimmt werden. Es gilt: m = f ‘(x) = mt.
Der gemeinsame Punkt P und die berechnete Richtung m von f werden in die Punkt-Richtungs-Form bzw. Punkt-Steigungs-Form einsetzt und in einem algebraischen Ablauf wird t bestimmt. Die Tangente t kann auch mit der Hauptform der Linearen Funktionen bestimmt werden.
Bitte nicht vergessen beim Berühren gilt: ein gemeinsamer Punkt, kein Lagewechsel bei den Funktionen und beide Funktionen haben die gleiche Richtung (m=f ‘ (x) =mt).
In der Differentialrechnung ist es außerdem möglich, bei verschiedenen Funktionen die Eigenschaften der Monotonie (f ist steigend, f ist fallend) oder die Krümmung (Links- bzw. Rechtskrümmung) rechnerisch bzw. graphisch nachzuweisen. Zudem kann mit der 1.Ableitung f ‘ in einem ersten Schritt die Extremstellen (Hoch- oder Tiefstelle) oder die Sattelstelle bestimmt werden. Allerdings sind noch zwei weitere Ableitungen f ” und f ”’ erforderlich, um die Funktion gezielt diskutieren zu können.
