In diesem Kurs zeige ich dir, wie man die 1.Ableitung f ‘ , aus der Funktion f, über die Ableitungsregeln bestimmt.
Die Ableitungsregeln
1. Diese Regeln gelten bei allen Funktionen im Zusammenhang: Faktorregel, Summen- und Differenzregel, Produktregel und Kettenregel
2. Die spezielle Regeln bei bestimmten Funktionen: Potenzregel, Sinusregel, Kosinusregel, Exponentialfunktionsregel, Konstantenregel
Es ist sehr wichtig, dass du die einzelnen Funktionsarten, die in der Analysis behandelt wurden, gut auseinander halten kannst. Du solltest die Eigenschaften der einzelnen Funktionsarten kennen.
Eine besondere Herausforderung wird für dich die Ketten- und die Produktregel sein, denn du musst das richtige Verfahren entsprechend der Funktion anwenden können.
Das Ziel in der Differentialrechnung ist es, die Funktion f nachweisbar beschreiben oder spezielle Punkte berechnen zu können. Die drei Ableitungen sind die Hilfsmittel, um das Ziel zu erreichen.
In den entsprechenden Schaubildern von der Funktion f im Zusammenhang mit den Ableitungen ist es möglich, die Zusammenhänge zu erkennen.
Welche Eigenschaften möchte man bei der Funktion f beschreiben bzw. berechnen?
1. Die Monotnie, d.h. in welchem Bereich ist die Funktion f steigend oder fallend.
2.Die Krümmung beschreibt den Bogen der Funktion. Es ist der Bereich gesucht in dem die Funktion eine Linkskrümmung oder eine Rechtskrümmung hat.
3.Die Extrempunkte sind in einer Umgebung von f ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt.
4.Der Wendepunkt oder speziell der Sattelpunkt ist der Beginn oder das Ende von der Krümmung. In diesem Punkt ist beim Wendepunkt die größte Steigung oder das größte Gefälle. Im Sattelpunkt gibt es keine Richtung.
Besonders wichtig ist, dass der y’-Wert bzw. der Funktionswert f ‘ (x) und die Lage der jeweiligen Ableitung die Informationen liefert, um die Eigenschaften von f berechnen oder beschreiben zu können.
Beim graphischen Differenzieren ist es mit den Schaubildern der drei Ableitungen und dem Schaubild der Funktion f graphisch möglich, die Zusammenhänge graphisch zu erkennen. Die Ableitungen liefern für die Funktion die Beschreibungs- oder Berechnungsgrundlage.
Die Ableitungen
In diesem Kurs betrachte ich die 1.Ableitung, die mit dem y’-Wert bzw. Funktionswert, die Richtung m an einer Stelle x bzw. einem Punkt P von f liefert.
Wird die 1.Ableitung null gesetzt, dann ist es möglich die Extremstellen (Hoch- bzw. Tiefstelle) oder die Sattelstelle zu bestimmen. Es ist die notwendige Bedingung mit f ‘ (x) = 0.
Außerdem ist es mit der 1.Ableitung möglich, die Monotonie bei der Funktion f zu beschrieben.Die beiden weiteren Ableitungen f ” und f ”’ entstehen aus der vorherigen Ableitung, die wieder abgeleitet wird.
Die 2. Ableitung ist für die Extremstellen oder die Sattelstelle die hinreichende Bedingung, um zu wissen, welcher Punkt vorliegt. Außerdem benötigt man die 2. Ableitung, um die Krümmung von f zu beschreiben.
Die 2. und 3. Ableitungen sind bei der Berechnung vom Wendepunkt und erweitert beim Sattelpunkt erforderlich.
Das komplexe Wissen in der Differentialrechnung ergibt sich somit aus dem Zusammenhang zwischen der Funktion f mit den Ableitungen. Diskutiert wird die Funktion f und die Ableitung bilden die mathematische Grundlage, um die Eigenschaften von f zu berechnen bzw. nachzuweisen.
Von dir wird von Anfang an gefordert, dass du dir diese Lerninhalte verinnerlichst, in dem du dich kontinuierlich auseinandersetzt. Du hast dann die Möglichkeit ein tiefe Verständnis in der Differentialrechnung zu bekommen. Alles löst sich in einem zusammenhängenden und logischen Betrachten auf. Ein spannendes und herausforderndes Denken erwartet dich.
