In diesem Kurs zeige ich dir die Eigenschaften einer Tangente t. Den Funktionsterm werde ich in der Differentialrechnung mit der Punkt-Richtungs-Form bzw. Punkt-Steigungs-Form aufstellen. Du kannst den Funktionsterm natürlich auch mit der Hauptform aufstellen, wenn du diesen Weg möchtest.
Bei der Punkt-Richtungs-Form wird in einem Schritt, die Richtung m und der gemeinsame Punkt P in die Formel eingesetzt und algebraisch umgeformt.
Die Tangente t berührt die Funktion f.
Es gilt:
1. Es gibt einen gemeinsamen Punkt P (Berührpunkt).
2. Es gibt in der Umgebung von P keinen Lagewechsel. Entweder liegt t oder f oberhalb und die andere Funktion liegt entsprechend unterhalb.
3. Beide Funktionen t und f haben im Punkt P die gleiche Richtung. Es gilt: m= f ‘(x) = mt
Die Tangente t hat verschiedene Schaubilder:
1. Die Tangente t kann eine steigende oder eine fallende Gerade sein,
2. Die Tangente t kann waagrecht verlaufen. In diesem Fall ist die Tangente eine Konstante Funktion t(x) = b (b ist der y-Wert vom Berührpunkt P).
In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt ein Hoch-, ein Tief- oder ein Sattelpunkt.
3. Die Tangente t kann eine Wendetangente sein, wenn der gemeinsame Punkt ein Wendepunkt W ist.
4. Die Tangente t ist die x-Achse mit t(x) = 0, wenn der gemeinsame Punkte B auf der x-Achse liegt. Die Tangente t ist in diesem Fall eine spezielle waagrechte Tangente t.
Die zur Tangente t senkrecht stehende Gerade ist die Normale n. Multipliziert man die Richtung mt der Tangente mit der Richtung mn der Normale, so ist das Ergebnis die Zahl – 1. Es gilt: mt * mn = -1
In der Differentialrechnung ist das Ziel die Funktion f zu diskutieren. In Aufgaben wird verlangt, die Extrempunkte (Hoch- bzw. Tiefpunkt), den Sattelpunkt oder den Wendepunkt zu berechnen. Außerdem möchte man bei der Funktion f die Monotonie (f ist steigend oder f ist fallend) und die Krümmung (Links- bzw. Rechtskrümmung) rechnerisch bestätigen.
In diesem Kurs gehe ich noch gezielt auf die Monotonie von f ein.
Bitte beachte: Mit der 1.Ableitung f ‘, die mit dem y’-Wert, die Richtung m von f an der Stelle x bzw. im Punkt P bestimmt. Diese Eigenschaft der 1. Ableitung gilt auch für mehrere y’-Werte bzw. Funktionswerte f ‘ (x). In diesem Fall ist es dann möglich, die Monotonie von f in einem bestimmten Intervall (Zahlenbereich auf der x-Achse) zu belegen.
