In diesem Kurs zeige ich dir in der Differenzialrechnung die Funktion f, die Ausgangsfunktion, und die höheren Ableitungen.
Das Ziel der Differentialrechnung
Die Funktion f möchte man im Verlauf beschreiben und spezielle Punkte von f berechnen. Die drei Ableitung sind Hilfsfunktionen, um den Verlauf von f zu begründen. Außerdem geben diese die Rechenverfahren, um die speziellen Punkte berechnen zu können.
Das Graphische Differenzieren
Es werden vier untereinander, liegende Koordinatensysteme angelegt. In diesen Koordinatensystemen werden die vier Funktionen ( f, f ‘ , f ” und f ”’) in ihren Schaubilder dargestellt. Über die graphischen Darstellungen der Ableitungen in Verbindung mit den Eigenschaften der Funktion f ist es möglich den Zusammenhang zwischen der Ausgangsfunktion f und den Ableitungen zu sehen.
Die y-Werte bzw. Funktionswerte der Ableitungen
Bitte achte bei den Schaubildern der Ableitungen und ihren Punkten auf die y-Werte. Die y-Werte der Ableitungen bestimmen die Situation, die man bei der Ausgangsfunktion benötigt.
Das Vorzeichen vom y-Wert in den Punkten der Ableitung bestimmt die Lage und die Eigenschaft der Ableitungen in Bezug zur x-Achse.
Bei der Monotonie und der Krümmung von f ist es wichtig, ob die Ableitungsfunktion ober- oder unterhalb der x-Achse liegt. Liegt die Ableitung oberhalb der x-Achse, dann sind die y-Werte der Ableitung im Vorzeichen positiv. Sind die y-Werte der Ableitung im Vorzeichen negativ, dann liegt die Ableitung unterhalb der x-Achse.
Die Nullstellen der Ableitung werden bei der Berechnung der speziellen Punkte von f benötigt.
Bei einem positiven oder negativen y-Wert von den Ableitungen kann entschieden werden, welche spezielle Stelle x berechnet wurde.
Hinweis:
Den x-Wert nennt man auch die Stelle x. Beim Punkt mit der x-Achse wird der x-Wert einfache Nullstelle bzw. Schnittstelle, doppelte Nullstelle bzw. Berührstelle oder dreifache Nullstelle bzw. Sattelstelle genannt. Den x-Wert bei den speziellen Punkten, wie dem Hochpunkt nennt man die Hochstelle, beim Tiefpunkt ist es die Tiefstelle, beim Sattelpunkt ist es die Sattelstelle und beim Wendepunkt ist es die Wendestelle.
Die 1.Ableitung
1.Eigenschaften
1.1.Die 1. Ableitung f ‘ bestimmt mit dem y’-Wert bzw. dem Funktionswert f ‘(x) im Punkt P ‘ die Richtung m von f an der Stelle x bzw. im Punkt P von f. Diese Eigenschaft von f ‘ gilt auch für mehrere y’-Werte.
1.2.Die 1.Ableitung wird im Funktionsterm null gesetzt, d.h. gesucht wird die Stelle x bei der der y ‘-Wert von f ‘ null ist. Das Nullsetzen vom Funktionsterm ist die notwendige Bedingung, um die speziellen Stellen (Hoch-, Tief- und Sattelstelle) zu berechnen. In den speziellen Stellen gibt es keine Richtung m. Es gilt: m=f ‘(x)=0
Bitte beachte, mit der 1.Ableitung ist es nicht möglich zu entscheiden, welche spezielle Stelle berechnet wurde.
1.3.Außerdem lässt sich mit der 1. Ableitung die Monotonie von f mit mehreren Punkten von f ‘ beschreiben. Die Monotonie von f wird in einem Intervall angegeben und mit der 1.Ableitung wird der Verlauf von f im gleichen Intervall begründet.
2.Monotonie
2.1.Die Funktion f ist in einem bestimmten Intervall steigend. Die 1.Ableitung liegt im gleichen Intervall oberhalb der x-Achse. Es sind positive y ‘-Werte erforderlich. Es gilt: f ‘(x) > 0
2.2.In einem bestimmten Intervall ist die Funktion f fallend. Die 1.Ableitung liegt im gleichen Intervall unterhalb der x-Achse. Man benötigt negative y ‘-Werte. Es gilt: f ‘(x) < 0
3.Hochpunkt und Tiefpunkt
Die Funktion f hat einen Hoch- oder einen Tiefpunkt, dann hat die 1.Ableitung einen Punkt mit der x-Achse. In diesem Punkt gibt es keine Richtung, der y ‘-Wert von f ‘ hat die Zahl Null. Es gilt: m = f ‘(x) = 0
3.1.Die Funktion f hat einen Hochpunkt, dann hat die 1.Ableitung einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Der x-Wert von f ‘ ist eine einfache Nullstelle bzw. Schnittstelle mit einem Vorzeichenwechsel von + nach – .
3.2.Die Funktion f hat einen Tiefpunkt, dann hat die 1.Ableitung einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Der x-Wert von f ‘ ist eine einfache Nullstelle bzw. Schnittstelle mit einem Vorzeichenwechsel von – nach +.
4.Der Sattelpunkt
Die Funktion f hat einen Sattelpunkt, dann hat die 1.Ableitung einen Punkt mit der x-Achse. In diesen Punkten gibt es keine Richtung, der y ‘-Wert von f ‘ hat die Zahl Null. Es gilt: m = f ‘(x) = 0.
4.1.Die Funktion f hat einen Sattelpunkt steigend, dann hat die 1.Ableitung einen Berührpunkt mit der x-Achse.
Der x-Wert von f ‘ ist eine doppelte Nullstelle bzw. Berührstelle ohne Vorzeichenwechsel von + nach +. Die 1.Ableitung liegt in der Umgebung vom Berührpunkt oberhalb der x-Achse.
4.2.Bei einem Sattelstelle fallend hat die 1.Ableitung einen Berührpunkt mit der x-Achse.
Der x-Wert von f ‘ ist eine doppelte Nullstelle bzw. Berührstelle ohne Vorzeichenwechsel von – nach – . Die 1.Ableitung liegt in der Umgebung vom Berührpunkt unterhalb der x-Achse.
2.Ableitung
1.Die hinreichende Bedingung, um zu entscheiden, welche spezielle Stelle x aus f ‘ vorliegt.
1.1.Die Funktion f hat eine Hochstelle x1, dann hat die 2.Ableitung einen negativen y”-Wert. Es gilt: f ”(x1) < 0.
1.2.Liegt eine Tiefstelle x2 vor, dann hat die 2.Ableitung einen positiven y”-Wert. Es gilt: f ”(x2) > 0.
1.3.Bei einer Sattelstelle x3 hat die 2.Ableitung einen y”-Wert von der Zahl Null. Es gilt: f ”(x3) = 0.
2.Die Wende- oder die Sattelstelle berechnen
In diesem Fall setzt man den Funktionsterm von f ” null , d.h. gesucht wird die Stelle x bei der der y”-Wert null ist. An dieser berechneten Stelle gibt es keine Krümmung. Es gilt: f ”(x) = 0
Die gefundene Stelle x kann die Wendestelle oder die Sattelstelle sein.
3.Welche Krümmung liegt vor?
3.1.Die Funktion f hat in einem bestimmten Intervall eine Linkskrümmung. Die 2.Ableitung liegt oberhalb der x-Achse. Es gilt: f ”(x) > 0
3.2.Hat die Funktion f in einem bestimmten Intervall eine Rechtskrümmung. Die 2.Ableitung liegt unterhalb der x-Achse. Es gilt: f ”(x) < 0
Bitte beachte:
Die Eigenschaften der Monotonie oder der Krümmung erfolgen in einem bestimmten Bereich. Dieser Zahlenbereich wird in Form von einem Intervall angegeben und bezieht sich auf die x-Wert
2.4.Besondere Eigenschaft
Die 2.Ableitung ist die Richtung m von der 1.Ableitung
3.Ableitung
Die 3. Ableitung f ”’ ist die Hilfsfunktion, um zu prüfen, ob eine Wende- oder eine Sattelstelle vorliegt.
Bitte beachte, die 3.Ableitung ist die Richtung von der 2.Ableitung und die Krümmung von der 1.Ableitung.
