Wie verhält sich eine Funktion, wenn man große positive x-Werte bzw. sehr kleine negative x-Werte einsetzen würde. Diese Überlegung nennt man den Globalen Verlauf oder den Verlauf im Unendlichen. Betrachtet wird mit der Voraussetzung der x-Werte das Verhalten der y-Werte.
Die y-Werte bestimmen die Lage von einem Punkt und letztlich mit vielen Punkten den Verlauf der Funktion im Schaubild.
Die Frage beim Globalen Verlauf (GV) ist, in welchen Quadranten die Funktion verschwindet. Achte bei diesem Thema auf die Kurzschreibweise, x “strebt gegen” (das bedeutet der Pfeil) plus bzw. minus Unendlich und die y-Werte “sterben ebenfalls gegen” plus oder minus Unendlich, so dass man den Quadranten aus beiden Überlegungen bestimmen kann.
Merke:
Das Thema Globaler Verlauf bzw. Verlauf im Unendlichen ist auf Ganzrationale Funktionen bzw. Polynomfunktionen übertragbar.
Hat eine Funktion einen ungeraden Grad, dann gilt beim Globalen Verlauf die diagonalen Quadranten, die Funktion hat mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Hat eine Funktion einen geraden Grad, dann gelten beim Globalen Verlauf die parallelen Quadranten, die Funktion muss keinen Schnittpunkt mit der x-Achse haben.
Beispiel bei einer Linearen Funktion in der Hauptform mit f(x) = mx + b. Die Funktion hat einen ungeradem Grad 1 bzw. Hochzahl 1. Der Globalen Verlauf :
1. Ist m>0, dann ist die Gerade steigend und es gilt der III. und I. Quadrant.
2. Ist m<0, dann ist die Gerade fallend und es gilt der II. und IV. Quadrant
Der Globale Verlauf fragt bei Funktionen in welchen Quadranten diese für sehr kleine x-Werte bzw. sehr große x-Werte verschwinden. Bei Ganzrationalen Funktionen kann man am Koeffizient und an der größten Hochzahl (Grad) erkennen in welchem Quadranten die Funktion verlaufen wird.
Beispiel:
f(x) = 3 x²
Der Koeffizient ist 3 > 0 (positiv) der Grad der Funktion ist 2 (gerade). Der Globale Verlauf sind die parallelen Quadranten II. und I. , wenn man das Koordinatensystem auf der x-Achse von links nach rechts liest.
g(x) = – 3 x²
Der Koeffizient ist -3 < 0 (negativ), der Grad der Funktion ist 2 (gerade). Der Globale Verlauf sind die parallelen Quadranten III. und IV. , wenn man das Koordinatensystem auf der x-Achse von links nach rechts liest.
h(x) = 2 x³
Der Koeffizient ist 2 > 0 (positiv), der Grad der Funktion ist 3 (ungerade). Der Globale Verlauf sind die gegenüber liegenden (diagonalen) Quadranten III. und I. , wenn man das Koordinatensystem auf der x-Achse von links nach rechts liest. Ein ungerader Grad schneidet mindestens ein Mal die x-Achse.
k(x) = – 2 x³
Der Koeffizient ist – 2 < 0 (negativ), der Grad der Funktion ist 3 (ungerade). Der Globale Verlauf sind die gegenüber liegenden (diagonalen) Quadranten II. und IV. , wenn man das Koordinatensystem auf der x-Achse von links nach rechts liest. Ein ungerader Grad schneidet mindestens ein Mal die x-Achse.
