Es gibt drei verschiedene Arten von Funktionstermen, die wiederum verschiedene Kombinationen haben.
Man unterscheidet:
1. Die Hauptform, eine Kombination aus Potenzfunktionen mit den Hochzahl 2 und 1 und einer Konstanten Funktion bzw. einer Konstanten. Es gilt: f(x) = ax² + bx + c
2. Die Scheitelform, bestehend aus einem Koeffizienten a, dem 1. oder 2.Binom und einer Konstanten. Es gilt: f(x) = a (x-b)² +c
3. Die Produktform bzw. Linearfaktorendarstellung, d.h. eine Summe oder eine Differenz als Klammerausdruck, die durch eine Multiplikation verbunden sind. Es gilt: f(x) = a (x-x1)(x-x2)
Der Parameter a (Koeffizient) Faktor
d.h. ist a = 1 Normalparabel, nach oben geöffnet, Scheitelpunkt im Ursprung, der Scheitelpunkt ist ein Berührpunkt mit der x-Achse, ein Tiefpunkt
a = -1 Normalparabel, nach unten geöffnet, Scheitelpunkt im Ursprung, der Scheitelpunkt ist ein Berührpunkt mit der x-Achse, ein Hochpunkt.
Der Parameter a auf den Verlauf der Quadratischen Funktion hat. Man nennt die Funktion auch eine Ganzrationale Funktion vom Grad 2, eine QF, eine G2 oder eine Polynomfunktion vom Grad 2.
Ausgehend von der Basisfunktion mit f(x)= 1 x² mit a= 1 zeige ich dir, wie sich der Verlauf der Funktion f verändert, wenn man für den Koeffizient a verschiedene Zahlen einsetzt.
Generell gilt:
1. a > 0,
d.h. der Koeffizient a ist positiv. Die Quadratische Funktion ist im Globalen Verlauf bzw. im Verlauf gegen unendlich nach oben geöffnet. Die Funktion verläuft für sehr kleine x-Werte bzw. sehr große x-Werte in den parallelen Quadranten II. und I..
2. a < 0,
d.h. der Koeffizient a ist negativ. Die Quadratische Funktion ist im Globalen Verlauf bzw. im Verlauf gegen unendlich nach unten geöffnet. Die Funktion verläuft für sehr kleine x-Werte bzw. sehr große x-Werte in den parallelen Quadranten III. und IV..
Es ist vom Parameter a abhängig, ob die Quadratische Funktion flach oder steil verläuft:
1. 0 < a < 1,
d.h. der Koeffizient a ist ein echter Bruch, dann verläuft die Quadratische Funktion flach. Man spricht von der Stauchung in x-Richtung.
2. a > 1,
d.h. der Koeffizient a ist eine positive reelle Zahl, dann verläuft die Quadratische Funktion steil. Man spricht von der Streckung in y-Richtung.
