1.DE Ziele der Differentialrechnung – Ziele der Analysis

In diesem Lernschritt zeige ich dir die Zielsetzung in der Analysis, das ist die Lehre der Funktion, mit den entsprechenden Eigenschaften. U.a. werden wichtige Begriffe vorgestellt:
Monotonie (steigend – fallend),
Krümmung (Linkskrümmung – Rechtsrkümmung),
Extrempunkte (Hochpunkt – Tiefpunkt),
Wendepunkt (steigend- fallend) und der Sattelpunkt (steigend – fallend),
sowie die Schnittpunkte mit den Achsen (Schnittpunkt mit der x-Achse (Schnittpunkt, Berührpunkt, Sattelpunkt) – Schnittpunkt mit der y-Achse). usw. (siehe im Material)

In der Analysis beschreibt man die Eigenschaften der Funktionen, meist an den Schaubilder oder an speziellen Punkten orientiert, mit der Intervallschreibweise. Die Extrempunkte lassen sich ebenfalls aus dem Schaubild bestimmen, wenn diese gut liegen. Außerdem lassen sich bestimmte Eigenschaften auch am Funktionsterm ablesen.

Berechnet werden die Schnittpunkte mit den Achsen oder gemeinsame Punkte (Schnitt- oder Berührpunkt) zweier Funktionen. Mit den gemeinsamen Punkten kann man eine Aussage über die Lager der Funktionen treffen, z.B. welche Funktion liegt ober – oder unterhalb. Der Schnittpunkt mit der y-Achse kann aus der Konstanten im Funktionsterm der Hauptform abgelesen oder mit der Bedingung x=0 berechnet werden.

Die Konstante im Funktionsterm der Hauptform bestimmt zudem die Verschiebung in y-Richtung nach oben bzw. unten.
Über die Punktprobe kann getestet werden,  ob ein Punkt auf, unter- oder oberhalb der Funktion f liegt.

Fazit: Alle Aufgaben und Aussagen in der Analysis können nicht in vollem Umfang mathematisch nachgewiesen und berechnet werden

Die Differentialrechnung benötigt die Kenntnisse der Analysis, in dem nun in diesem Themengebiet der Mathematik die Extrempunkte, Wendepunkt und der Sattelpunkt konkret berechnet werden können. Zudem kann der Verlauf der Monotonie und der Krümmung nun exakt belegt werden.

Eine wichtige Voraussetzung ist zunächst die Vorstellung, dass in jedem Punkt einer Funktion (i.d.F. eine Kurve) eine Richtung m ( steigend, fallend oder keine Richtung) vorliegt. Diese Richtung m kann mit der 1. Ableitung f ‘ in einem Punkt P oder einer Stelle x einer Funktion f mit dem y’-Wert oder dem Funktionswert (f ‘ (x) ) der Ableitung bestimmt werden. Mit zwei weitere Ableitungen f ” und f ”’ ist es weiter möglich, den logischen Zusammenhang herzustellen, so dass in diesem komplexen Themenbereich eine rechnerische Grundlage für die entsprechenden Fragestellungen vorliegt.

Jede Ableitung f ‘ , f ” und f ”’ hat eine bestimmte Bedeutung bezogen auf die Ausgangsfunktion f und beantwortet jeweils einen Teil für die Fragestellungen, z.B. man möchte die Extrempunkte berechnen.

Die 1.Ableitung kann über die graphische oder über eine algebraischen Herleitung bestimmt werden. Mit den Kenntnissen der Ableitungsregeln kann beginnend aus der Funktion f  die 1.Ableitung  “einfacher” ermittelt werden. Hat man die 1.Ableitung f ‘ , so kann aus dieser mit den Ableitungsregeln die 2. Ableitung f ” bestimmt werden und aus dieser bestimmt man mit den Ableitungsregeln die 3.Ableitung f ”’.
Es ist immer der y’-Wert bzw. der Funktionswert der Ableitungen, der die Auskunft über die Eigenschaft der Ausgangsfunktion f liefert.

Ziele der Differentialrechnung – Ziele der Analysis