10.0.DE Ziele in der Differentialrechnung mit der 1.Ableitung f ‘

In diesem Lernschritt zeige ich dir, dass der y’-Wert bzw. Funktionswert der 1.Ableitung f ‘, die Richtung   m=f ‘(x) an einer Stelle x oder in einem Punkt P von f ist. Die 1.Ableitung ist eine Funktion, die man aus der Funktion f (Ausgangsfunktion) mit Ableitungsregeln bestimmen kann.

Bitte merken:
Es ist der y’-Wert bzw. der Funktionswert von f ‘ , die die Richtung m von f an der Stelle x bzw. im Punkt P ist.

Die Tangente t berührt f. Aus diesem Grund ist es möglich, die errechnete Richtung m von f für t zu übernehmen. Es gilt: m=mt.
Setzt man in die Punkt-Richtungs-Form bzw. Punkt-Steigungs-Form die Richtung mt und den gemeinsamen Punkt P von f und t ein, so ist es möglich in einem algebraischen Ablauf den Funktionsterm der Tangente t zu bestimmen.

Es gibt steigende oder fallende Tangenten oder Wendetangenten an einer bestimmten Stelle x oder in einem Punkt P von f. Bitte beachte, bei der Wendetangente ist der gemeinsame Punkt von t und f ein Wendepunkt W.

In den Extrempunkten (Hoch- oder Tiefpunkt) und im Sattelpunkt ist der y-Wert im Punkt die Tangente t. In dem Fall eine waagrechte Tangente, in der es keine Richtung (mt =f ‘(x) = 0) gibt. Eine waagrechte Tangente t ist eine Konstante Funktion.

Bei einem Berührpunkt ist die x-Achse die waagrechte Tangente t, z.B. g(x) = 0 oder h(x) = 0. Die x-Achse ist eine spezielle Konstante Funktion, i.d.F. gilt für die Richtung mt = g ‘(x) =  h ‘(x) = 0.

Setzt man die 1.Ableitung f ‘(x) = 0, so sucht man von f die Stellen x bei der keine Richtung vorliegt.  Es ist die Bedingung um  Extremstellen (Hoch- oder Tiefstelle) oder eine Sattelstelle zu ermitteln. Leider reicht diese errechnete Stelle x nicht aus, um sofort entscheiden zu können, welche Stelle vorliegt. Für die Antwort dieser bestimmten Stellen benötigt man zudem die 2. und 3. Ableitung f ” und f ”’.

Alle diese Lernschritte sind Ziele in der Differentialrechnung.  Man möchte  die Funktionsarten beschreiben und die speziellen Punkte, wie die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt), den Sattelpunkt oder den Wendepunkt rechnerisch bestimmen. Außerdem will man Aussagen über die Monotonie (f ist steigend oder f ist fallend) und die Krümmung (Links- bzw. Rechtskrümmung) bezüglich der gegebenen Funktion f treffen.

Ziel der Differentialrechnung mit der 1. Ableitung f’