6.0.DE Tangente, Normale, Sekante, Passante im Vergleich

In diesem Lernschritt zeige ich dir zur Wiederholung vier verschiedene Geraden (Passante, Sekante, Tangente, Normale), die teilweise in der Differentialrechnung verwendet werden.

Die Passante p hat keinen Kontakt zur Funktion f und dient nur zur Unterscheidung und vervollständigt das Thema. Die Passante p hat nur wenig Bedeutung in der Differentialrechnung.

Die Sekante s schneidet die Funktion f in zwei Punkten. Die Sekante benötigt man bei der Herleitung der Ableitungsfunktion f ‘ in der Differentialrechnung.

Die Tangente t berührt die Funktion f an einer bestimmten Stelle x oder in einem gemeinsamen Punkt P.
Bitte beachte:
Die Richtung mt der Tangente t und die Richtung m Funktion f sind gleich. Es gilt mt =m.  Es gibt in der Umgebung um den gemeinsamen Punkt keinen Lagewechsel der Funktionen, d.h. entweder liegt t oberhalb und f unterhalb oder umgekehrt.

Hinweis 1:
Die Tangente t gibt die Richtung im gemeinsamen Punkt vor. Erst in der Differentialrechnung kann man die Richtung m von f, unabhängig von der Tangente, mit der 1.Ableitung f ‘ bestimmen.

Folgende Richtung m sind möglich
Steigung es gilt: m= f ‘(x) >0
Gefälle es gilt m= f ‘(x) <0
keine Richtung es gilt m= f'(x) =0

Bitte beachten beim Berühren von zwei Funktionen gibt es drei Eigenschaften: gemeinsamer Punkt, kein Lagewesel bei den Funktionen, die Richtung ist gleich.
Beim Berührpunkt mit der x-Achse gilt noch zusätzlich die Eigenschaft, dass kein Vorzeichenwechsel bei den y-Werten bzw. Funktionswerten von f vorliegt. Die Richtung m=0  der x-Achse ist gleich der Funktion f im dem gemeinsamen Punkt. Die x-Achse ist die Tangente t .

Die Normale n ist die zur Tangente t senkrecht oder orthogonal stehende Gerade im gemeinsamen Punkt P oder an der gemeinsamen Stelle x von der Tangent t und der Funktion f. Multipliziert man die Richtung mt der Tangente t mit der Richtung mn der Normale n,  so ist das Ergebnis die Zahl  -1. Es gilt: mt * mn = – 1

Das Ziel der Differentialrechnung ist in einem bestimmten Punkt oder an einer bestimmten Stelle x von einer Funktion f die Richtung m zu berechnen. Diese Richtung m von f ist der y’ +-Wert bzw. Funktionswert der 1.Ableitung, wenn man die Stelle x von einem Punkt von f in den Funktionsterm  von f ‘ einsetzt. Anschließend kannst du aus der Richtung m von f die Richtung mt der Tangente t folgern. Die Tangente t berührt f im gemeinsamen Punkt, bei dem die Richtung von f und t gleich ist.

Tangent – Normale – Sekante – Passante im Vergleich