Punkte und Funktion

In diesem Lernschritt zeige ich dir, wie die Punkte in der Analysis noch verwendet werden. In den letzten Lerninhalten behandelte ich, wie die Punkte im Koordinatensystem horizontal, vertikal oder in der Ebene liegen können. Man kann bei den Punkten den Abstand berechnen oder die Punkte spiegeln.

1.1. Funktion

Wählt man nun eine unabhängigen Variablen x aus den reellen Zahlen, so kann mit einer “Formel” der zugehörige, abhängige y-Wert bzw. Funktionswert bestimmt werden. Es entstehen nach diesem Verfahren viele Punkte, je nach dem wie viele Punkte man mit der “Formel” berechnet. Die “Formel” nennt man in der Analysis eine Funktion.

Zeichnet man diese Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbindet diese, so entsteht das Schaubild von dieser Funktion, das bestimmte Eigenschaften hat. Das Schaubild der Funktion besteht aus einer Kette von Punkten, die von einer unendlichen Anzahl sind.

1.2. Eigenschaften von Funktionen

In der Analysis möchte man die Eigenschaften der Funktionen, wie Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt berechnen. Der Verlauf der Funktion wird mit der Monotonie beschrieben. Man fragt, in welchem Bereich (Intervall der x-Werte) ist die Funktion steigend oder fallend.

Die Schnittpunkte mit den Achsen bzw. Achsenschnittpunkte oder Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen werden mit bestimmten Bedingungen an die Funktion berechnet. Man unterscheidet bei den Punkten mit der x-Achse, den Schnittpunkt, den Berührpunkt und den Sattelpunkt.
Speziell wird der x-Wert mit Stelle bezeichnet, so dass du die Unterscheidung von einer
Schnittstelle (einfach Nullstelle),
einer Berührstelle (doppelte Nullstelle) oder
eine Sattelstelle (dreifachen Nullstelle) kennen lernst.

Ein weiterer Begriff ist die Krümmung, die den Bogen einer Funktion beschreibt. Man unterscheidet zwischen einer Links- und einer Rechtskrümmung.

1.3. wirtschaftliche Anwendung von Funktionen

Funktionen können wissenschaftliche, wirtschaftliche oder ökologische Zusammenhänge graphisch veranschaulichen und es ist dann möglich an der Graphik die Zusammenhänge zu erklären. In diesem Bereich werden Themen aus der Wirtschaft z.B. Darstellung der Kosten mit einer Funktion dargestellt, die dann entsprechend den Fragestellungen diskutiert wird. In der Biologie kann der Abbau von einem Medikament oder das Wachstum von einem Baum graphisch darzustellen werden. Aus einer empirischen Erhebung können die Punkte bestehend aus der Menge oder aus der Zeit und denn Kosten oder dem zugehörigen gemessenen Ergebnis über die Regression die entsprechenden Funktionen aufgestellt werden.

1.4. Grundlage und Ziele der Analysis

Die Grundlage mit Funktionen zu rechnen bildet in der Analysis die Algebra, d.h. um mit Funktionen rechnen zu können benötigst du die Kenntnis mit dem Umgang der Zahlen. Ich habe in diesem Kurs an vielen Stellen versucht, dir so genau wie möglich darzustellen, wie ich zu dem Ergebnis der Berechnungen gekommen bin. Allerdings funktioniert dies nicht immer bis in die letzte Überlegung, denn dafür ist das Wissen aus der Algebra erforderlich. Es sind oft die kleinen Dinge, die man in der Mathe benötigt, um “große” Schritte gehen zu können.

Das Ziel in der Analysis sind die Eigenschaften in 1.2. von verschiedenen Funktion zu kennen, diese zu beschreiben oder auch zu berechnen. Man nennt diesen Vorgang mit  einer Funktion eine Kurvenuntersuchung oder eine Kurvendiskussion.

Die Analysis ist demnach die Lehre der Funktionen.

1.5. Motivation Funktion – Video