Definition einer Funktion

In diesem Lernschritt zeige ich dir, wie Funktionen in der Analysis entstehen und ich nenne dir die zugehörigen Begriffe, die du unbedingt lernen solltest. Außerdem wäre es wichtig die Bedeutung und die Schreibweise der Symbolsprache zu lernen, denn in der Mathematik schreibt man keine Aufsätze, sondern versucht in wenigen Schritten in der Symbolschreibweise, das Problem mit den gegebenen Voraussetzungen zu lösen.

1.1. Definitions- und Wertebereich

Eine Funktion ist demnach in der Analysis eine Zuordnung, in dem man einen beliebigen x-Wert (unabhängige Variable) aus dem Definitionsbereich in die Funktion (“Formel”) einsetzt und den y-Wert (abhängige Variable) errechnet bzw. zuordnet. Es entsteht ein Punkt P(x/y). Die Menge der y-Werte bezeichnet man mit dem Wertebereich. In der Mathematik werden auch die Begriffe Definitions- oder Wertemenge verwendet.

1.2. Punkte, Wertetabelle, Schaubild

Der x-Wert und der y-Wert, auch Funktionswerte genannt, bilden zusammen ein Zahlenpaar, was man mit einem Punkt P(x/y) bezeichnet. Dieser Punkt P kann in das Koordinatensystem eingezeichnet werden. Errechnet man viele Punkte so kann man diese in einer Wertetabelle darstellen. Wenn man diese berechneten Punkte im Koordinatensystem verbindet, so entsteht das Schaubild der Funktion, bestehend aus unendlich vielen Punkten. Man kann sich vielleicht eine Kette vorstellen, die die Punkte bilden und die Funktion graphisch veranschaulichen. Das Schaubild einer Funktion ist die graphische Darstellung einer Funktion an der man die Eigenschaften erkennen, berechnen oder beschreiben kann.

1.3. Eigenschaften von Funktionen

In der Analysis möchte man die Eigenschaften der Funktionen, wie Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt berechnen. Der Verlauf der Funktion wird mit der Monotonie beschrieben, d.h. in welchem Bereich ist die Funktion steigend oder fallend.

Die Schnittpunkte mit den Achsen bzw. Achsenschnittpunkte oder Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen werden mit bestimmten Bedingungen an die Funktion berechnet. Man unterscheidet bei den Punkten mit der x-Achse, den Schnittpunkt, den Berührpunkt und den Sattelpunkt. Speziell wird der x-Wert mit Stelle bezeichnet, so dass du die Unterscheidung von einer Schnittstelle (einfach Nullstelle), einer Berührstelle (doppelte Nullstelle) oder eine Sattelstelle (dreifachen Nullstelle) unterscheiden kannst.

Ein weiterer Begriff ist die Krümmung, die den Bogen einer Funktion beschreibt. Man unterscheidet zwischen einer Links- und einer Rechtskrümmung.
Wie du jetzt feststellen kannst, so sind diese Begriffe Inhalt von diesem Kurs. Mit diesen Begriffen hast du die Möglichkeit, die Funktionsarten mit den jeweiligen Eigenschaften kennen und unterscheiden zu lernen. Man nennt dies diese Analyse einer Funktion eine Kurvenuntersuchung oder eine Kurvendiskussion.

Mit dieser Betrachtung könnte man zusammenfassend sagen, die Analysis ist die Lehre der Funktionen ist.

1.4. Funktion – Video