7.3.1.G4 doppelte Nullstelle – berühren mit der x-Achse

In diesem Lernschritt zeige ich dir die Eigenschaften der zweite Nullstellenart, das Berühren mit der x-Achse mit den entsprechenden Eigenschaften: gemeinsamer Punkt mit der x-Achse, Lage der Funktion (ober- bzw. unterhalb), Vorzeichenwechsel (Verhalten der Y-Werte (Vorzeichen) in der Umgebung um den speziellen Punkt) und dem Richtungsverleich im gemeinsamen Punkt mit der x-Achse und mit der Funktion.

Die doppelte Nullstelle nennt man auch Berührstelle es ist der x-Wert im speziellen Punkt.  Ist in der Aufgabe nach dem Punkt gefragt, so liegt der Berührpunkt vor.

Bitte beachte, die Aufgabenstellung bei diesem Thema:
1. Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen, d.h. gesucht wird der Schnittpunkt mit der x-Achse und der Schnittpunkt mit der y-Achse. Es ist erforderlich bei der Lösung einen Punkt bestehend aus dem x- und y-Wert anzugeben. Der y-Wert hat in diesem Fall die Zahl Null.
2. Berechnen Sie die Nullstellen, d.h. gesucht ist der x-Wert beim Schnittpunkt mit der x-Achse und nicht die Angabe vom Punkt.
3. Bereechnen Sie die Punkte mit den Koordinatenachsen, d.h. auch in diesem Fall ist der Schnittpunkt mit der x-Achse und der Schnittpunkt mit der y-Achse gefragt. (siehe 1)

Hinweis:
Der Schnittpunkt mit der x-Achse muss nicht ein Schnittpunkt sein, sondern es besteht in dieser Fragestellung auch die Möglichkeit, dass ein Berührpunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt. Um diese drei verschiedenen Punkte tatsächlich unterscheiden zu können, ist es erforderlich die Eigenschaften die oben angegeben werden genau zu prüfen.

Die Eigenschaft Richtung ist ein Thema der Differentialrechnung, denn dort wird behandelt, dass in jedem Punkt eine Funktion eine Richtung vorliegt, die man berechnen kann. Bei einer Geraden ist die Richtung der Faktor m vor dem x-Wert im Funktionsterm, dieser ist immer gleich, sonst könnten wir diese Gerade nicht in der Art zeichnen. (f(x)=mx+b, oft sagt man dazu m ist die Steigung, was aber auch ein Gefälle sein kann!)

Bei Kurven z.B. bei der Quadratischen Funktion oder Ganzrationalen Funktion (Polynomfunktion) vom Grad 2 liegt in jedem Punkt der Kurve eine andere Richtung vor, sonst wäre der Bogen (Krümmung) im Schaubild nicht möglich. Diese Richtung müssen wir uns in diesem Fall vorstellen. In den Unterlagen habe ich dies in den einzelnen Punkten mit Pfeilen demonstriert. Meine Bitte lerne diese Eigenschaft besonders, auch wenn es in diesem Lernschritt nicht möglich ist tiefer auf das Thema einzusteigen.

Die Richtung in einem Punkt kann steigend, fallend oder es besteht auch die Möglichkeit dass keine Richtung vorliegt, was man bei Konstanten Funktionen (Parallelen zur x-Achse und die x-Achse selbst) vorliegt.

doppelte Nullstelle – Berührstelle