7.5.PF Asymptote mit der x- bzw. y- Achse

In diesem Lernschritt zeige ich dir, dass bei einer Potenzfunktion mit der Hochzahl (HZ) k=  -1, nach einem Potenzgesetz es möglich ist, den Funktionsterm so umzuschreiben, dass ein Bruch entsteht.  Die unabhängige Variable x steht dann im Nenner. Bei einem Bruch darf, per Definition, die Zahl Null nicht im Nenner stehen, d.h. der spezielle x-Wert, bei dem der Nenner die Zahl Null annimmt muss aus dem Definitionsbereich D ausgeschlossen werden. Man nennt diesen speziellen x-Wert eine Definitionslücke.

Diese Definitionslücke, ist der x-Wert, bei dem der Nenner null wird, wenn man diesen x-Wert in den Funktionsterm einsetzt, erfordert eine detailliertere Betrachtung.
Der Ablauf ist, dass man sich mit den zulässigen x-Werten, aus dem Definitionsbereich D, von links bzw. rechts an die Definitionslücke annähert. Dabei wird man feststellen, dass eine senkrechte Asymptote (eine Relation) entsteht, entweder die y-Achse (x=0) oder eine Parallele zur y-Achse (x=…).
Eine Asymptote entsteht je mehr man sich der Definitionslücke mit den x-Werten annähert, so ergeben sich sehr großen bzw. sehr kleinen Funktionswerte (y-Werte). Die Asymptote wird durch die y-Werte angenähert, aber nie geschnitten oder berührt.
Hinweis: Hat man einen x-Wert und diesem werden unendlich viele y-Werte zugeordnet, dann spricht man von einer Relation.

Eine  waagrechte Asymptoten entsteht, wenn man mit den x-Werte aus D, gegen plus bzw. minus Unendlich strebt und das Verhalten der y-Werte (Funktionswerte) betrachtet. Dies Asymptote kann die x-Achse (spezielle Funktion, g(x) = 0) oder eine Parallele zur x-Achse  sein.
Hinweis: Die waagrechte Asymptote ist eine Funktion und keine Relation, denn jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet, dieser y-Wert kann auch die gleiche Zahl sein.

Bitte beachte unsere Zahlen sind unendlich, diese können unendlich klein oder unendlich groß werden, man bewegt sich gedanklich in der Vorstellungskraft, weil sich diese Situation nur in einem eingeschränkten Bereich optischen darstellen lässt.

Warum gibt es eine Asymptote?